大于5的质数4次方减1能被120整除
Tuesday October 17, 2006 by Jimmy.Lin
上周5，台北那边的PM发来一道问题：
放心好了，这个问题不是哪一个CR出了什么问题，是我朋友考我的一个数学问题，如果有兴趣的人试试看吧？P是一个大于5的质数，请证明P^4 – 1 必为120的倍数，例如(7 * 7 * 7 * 7) – 1 = 2400，为120的倍数
先贴上我的证明 ：
Dear Frank.
你用推理推出来,底下是我的正向证明. 欢迎评点.谢谢.
将大于5的自然数以除以6的余数为标准分成6类:
6n,6n+1,6n+2,6n+3,6n-2,6n-1,由于大于5的质数事奇数,所以,大于5的质数可以用6n+1或者6n-1
那么,
先证明X^4 – 1 能被24 整除
(1) 如果x= (6n+1)^4 -1
则
= [(6n+1)^2 + 1] [(6n+1)^2 – 1]
=(36n^2 + 18n +2) (6n+1+1) (6n + 1 -1)
= 2 * 2 * 6 (18n ^2 + 9n + 1) (3n + 1) n
= 24 (18n^2 + 9n + 1) (3n + 1) n
显然能被24整除.
(2)同理, x = (6n-1)^4 – 1 容易证明能被24 整除.
再次证明x^4 – 1能被5 整除
如果 质数能用6n + 1 (6n- 1) 表示,但是,6n+ 1 6n + 1 (6n- 1)并不能都是质数.
则只需证明 [(6n+1)^4 -1] * [(6n-1)^4 -1] 能被5 整除
令 6n -1 = t ,则6n +1 = t + 2
[(t+2)^4 -1 ] (t^4-1)
= [(t+2)^2 +1 ] [(t+2)^2 -1 ] (t^2 + 1)(t+1)(t-1)
= [(t+2)^2 +1 ] (t^2 + 4 t + 3) (t^2 + 1)(t+1)(t-1)
= [(t+2)^2 +1 ] (t-1)(t+1)(t+3) (t+1) (t^2 +1)
=[t^2 * (t+2)^2 + t^2 + (t+2)^2 + 1 ] (t-1)(t+1)(t+3) (t+1)
= [t*t*(t+2)*(t+2) + 2t(t+2) + 5] (t-1)(t+1)(t+3) (t+1)
= t*t*(t+2)*(t+2)* (t-1)(t+1)(t+3)(t+1) + 2t(t+2)(t-1)(t+1)(t+3)(t+1) + 5(t-1)(t+1)(t+3)(t+1)
=t(t+2)(t+1) *(t-1)t(t+1)(t+2)(t+3) + 2(t+1) *(t-1)t(t+1)(t+2)(t+3) + 5 * (t-1)(t+1)(t+3)(t+1)
因为 (t-1)t(t+1)(t+2)(t+3)能被5整除(数学归纳法)
所以, [(6n+1)^4 -1] * [(6n-1)^4 -1] 能被5 整除.
综上所述, X^4 – 1 (x 为大于5的质数)能被120 整除
再贴上PM的推理 ：
首先先做120的质因数分解：
120 = 5 * 3 * 2 * 2 * 2
第二步做(P^4 – 1)的因式分解：
(P^4 – 1) = (P^2 + 1)(P^2 – 1) = (P^2 + 1)(P + 1)(P – 1)
第三步分析(P^2 + 1)(P + 1)(P – 1)：
P为大于5的质数，故P必为单数，所以
(P^2 + 1)、(P + 1)、(P – 1)皆为偶数
并可标示为2a、2b、2c，所以120的质因数中
三个2可以被找掉
第四步想办法找120的质因数5：
P为大于5的质数，故P的个位数字必为1、3、7、9
而1、3、7、9为尾数的质数，其四次方必为1字尾
故(P^4 – 1)必为0字尾，120的质因数5也被找到
最后一步想办法找120的质因数3：
(P + 1)、P、(P – 1)其中必有一个为三的倍数(因为三的倍数每三个就会出现一次)
P为质数所以不可能为三的倍数，故(P + 1)或(P – 1)其中必有一个为三的倍数
所以120的质因数中3也被找到
总结 ：
1，其实还有另外一个家伙传闻也证明出来，但是我我的确搞不明白那是什么意思，假定地考量了，不过我认为那都是废话，所以不贴他的了。
2，这道题真的是蛮好的。思维也比较独特。PM的推理其实也是对的。很不错的思路。